Teorema de Ceva: Dado un ABC del triángulo, y los puntos D, E, y F que mienten en las rectas AB, A.C., y el CA respectivamente, el teorema indica que las rectas AE, FB y C.C. son concurrentes si y solamente si (AD/DB) * (BE/EC) * (CF/FA) =1.

Teorema de Ceva

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El manipulante 1: Teorema de Ceva. Creado con GeoGebra.

El teorema de Ceva indica eso; se dan del triángulo ΔABC, y los puntos D, E, y F que mienten en las rectas AB, BC, y CA respectivamente, rectas AE, BF y DC concurrente si y solamente si (AD/DB) * (BE/EC) * (CF/FA) =1.

El teorema se nombra después de Juan Ceva (1647-1734), que lo probó sus 1678 trabajo De lineis rectis. Sin embargo fue probado mucho anterior por el Yusuf Al-Mu'taman ibn Hud, (?? ??? ????? ???? ?? ????????? ?) un rey del undécimo-siglo de Zaragoza.

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El manipulante 2: Teorema de Ceva. Creado con GeoGebra.

Prueba del teorema de Ceva

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eL manipulante 3: Impermeabilice el teorema de un Ceva. Creado con GeoGebra.
PasoDiscusiónJustificación
0 Deje el ABC ser un triángulo. Deje D ser un punto pero no una punto final en el AB, E esté un punto pero no una punto final prendido BC, F sea un punto pero no una punto final en el CA tales que los segmentos AE, BF y CD son concurrentes. Deje P ser el punto donde están concurrentes los AE, los BF y el CD. Éstos son los criterios.
1 Dibuje una recta con C paralela al AB. Etiquete esta recta c.
2 Extienda la recta segmento AE. Etiquete esta rectadel e. Etiqueta la intersección de las rectas c y e como A'.
3 Extienda la recta del segmento BF. Etiquete esta recta del f. Etiqueta la intersección de las rectas c y f como B'.
4 Pesque los ángulos ∠AEB y ∠A'EC son congruente. Los ángulos ∠AEB y ∠A'EC están enfrente de ángulos.
5 Los ángulos ∠A'CE y ∠ABC son congruentes Desde BC es un transversal de las rectas paralelo del AB y c, los ángulos ∠A'CE y el ∠ABC son congruentes.
6 Los ángulos ∠AA'C y ∠A'AB son congruentes. Desde AB es un transversal de las rectas AB del paralelo y c, los ángulos ∠A'CE y el ∠ABC son congruentes.
7 Los triángulos ∠ABE y ∠A'CE son triángulos similares. Puesto que ∠AEB es congruente con ∠A'EC, ∠A'CE es congruente con el ∠ABC y ∠AA'C es congruente con ∠A'AB, triángulos ΔABE y ΔA'CE son triángulos similares.
8 Los triángulos ΔBAF y ΔB'CF son triángulos similares. Los triángulos ΔBAF y ΔB'CF son similares por una discusión similar a los pasos 4-6.
9 El asimiento siguiente de las igualdades: VAGOS de BE/EC = de AB/CA y de CF/FA = de CB'/. El razón de un lado correspondiente de los triángulos similares a otro lado correspondiente es igual.
10 Ahora multiplique los lados respectivos de las ecuaciones en el paso 10 para conseguir (BE/EC) * (CF/FA) = (AB/CA')* (VAGOS de CB'/) = (CB'/A'C). Esto utiliza la propiedad multiplicativa de la igualdad y la propiedad de la substitución de la igualdad.
11 El triángulo ΔADP es similar al triángulo ΔA'CP. El triángulo ΔADP es similar al triángulo ΔA'CP por una discusión similar a los pasos 4-6.
12 El triángulo ΔBDP es similar al triángulo ΔB'CP. El triángulo ΔBDP es similar al triángulo ΔB'CP por una discusión similar a los pasos 4-6.
13 El asimiento siguiente de las igualdades: DB de CP/DP=A'C/AD y de CP/DP=CB'/ El razón de un lado correspondiente de los triángulos similares a otro lado correspondiente es igual.
14 Esto da AD/DB=A'C/CB Esto utiliza la propiedad transitiva de la igualdad y la propiedad multiplicativa de la igualdad.
15 Multiplicar la ecuación del paso 10 con la ecuación del paso 14 da (AD/DB) * (BE/EC) * (CF/FA) =1'

Q.E.D.

Esto utiliza la propiedad multiplicativa de la igualdad.

Recíproca

PasoDiscusiónJustificación
1 Suponga que E, F, D son puntos encendido AB, CA y AB que satisfacen respectivamente (AD/DB) * (BE/EC) * (CF/FA) =1. Éstos son los criterios.
2 Deje Q ser la intersección de los AE y FB, y D sea la intersección de la calidad de copia con el AB.
3 Desde los AE, los FB y CD son concurrentes, (AD'/D'B) * (BE/EC) * (CF/FB) =1 y (AD'/D'B) = (AD/DB). espacio vacío
4 El paso #3 implica D = D', así que los AE, los FB, y el CD son concurrentes.

Q.E.D.

espacio vacío
Cuadro 1: Prueba del teorema de Ceva. Cortesía Yark de la prueba. Autorizado debajo de licencia creativa de la atribución 2.5 de los campos comunes.

Más información

  • McAdams, David. Cevian. AllMathWords.org. Life is a Story Problem.org. 2009-04-03. https://www.allmathwords.org/article.aspx?lang=es&id=Cevian.
  • O'Connor, J J and E F Robertson, E F. Juan Ceva. Biographie. University of St Andrews, Scotland. 2009-04-03. Traducido automáticamente por babelfish.yahoo.com. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Ceva_Giovanni.html.

Citar este artículo como:
Teorema de Ceva. 2009-04-03. Enciclopedia de Todas las Palabras de la Matemáticas. Life is a Story Problem.org. https://www.allmathwords.org/es/c/cevastheorem.html.

Traducciones

créditos de imagen

  • Todas las imágenes y manipulatives están por David McAdams a menos que estén indicadas de otra manera. Todas las imágenes de David McAdams son & de los derechos reservados; © Life is a Story Problem.org y se puede reproducir para el uso educativo no comercial solamente.

La historia de revisión


2009-04-03: Traducido automáticamente por BabelFish. (babelfish.yahoo.com.)
2008-11-21: Versión inicial (McAdams, David.)

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